ENSEÑANZA
DE LA FÍSICA Y LA QUÍMICA
sección:
DIDÁCTICA DE LA FÍSICA Y LA QUÍMICA
Introducción
a la teoría de campos IV
11.2.
ENERGÍA POTENCIAL
Las variaciones de la energía potencial
son similares a las del potencial, dado que Ep = A .V, para una determinada
cantidad de magnitud activa A
En el campo gravitatorio (A=M), Ep
= -GMm/r (32)
En el eléctrico A = Q Ep = kQq/r. (33)
Como el W es igual a (- variación de la
energía potencial entre dos puntos A y B) ; W = -A (VB - VA)
= A (VA - VB), y si se aplican para cada campo las magnitudes activas y potenciales respectivos,
se tendrá que :
a) En
el campo eléctrico:W = kqQ[1/rA - 1/rB] (34)
b) En
el campo gravitatorio:W = -GmM[1/rA- 1/rB]
[1]
En el campo gravitatorio si gA = gB = g , esto si la intensidad del campo se considera constante
en una determinada distancia, se puede tomar como mg (rA- rB)
, que sería el aumento de energía potencial gravitatoria, siendo el trabajo
negativo; esto un aumento de energía potencial implica que hay que realizar
un trabajo sobre el campo mientras que una disminución, el campo haría el
trabajo.
En las expresiones anteriores, dado que
rA < rB , tendremos que W > 0 , es evidente que
si se lleva una carga positiva q (carga de prueba) desde A hasta B, el trabajo
lo realiza el campo (la carga Q rechaza a la otra q del mismo signo, alejándola),
criterio semejante al aplicado en termodinámica. En este caso, se recuerda
la transformación adiabática (Q=0), en la que dU = -dW, esto es el trabajo
es igual a la variación de la energía interna, con el signo cambiado.
En el caso del campo gravitatorio, si se
traslada una masa m desde A hasta B, se aleja del campo, y como es
atractivo, se deberá hacer un trabajo contra el campo, mientras que si la
masa fuera desde B hasta A, el trabajo lo haría el campo.
En el primer caso, el trabajo será negativo
W<0 , W = -GmM[1/rA- 1/rB], rA < rB .
En cambio en el segundo, W= -GmM[1/rB-
1/rA], y rA <
rB , por lo que el trabajo será positivo ( lo hace el campo).
Generalizando, la expresión de la energía
potencial en un campo conservativo sería Ep = k AA'/r, siendo A la magnitud
activa que crea el campo y A', la magnitud activa de prueba, o la que se traslada
en el campo.
a) Para
un campo divergente (eléctrico): A=Q, A'=q ;k= k ; Ep = kQq/r (35)
b) Para
un campo convergente (gravitatorio):A=M,
A'=m, k=G, y el signo correspondiente, Ep= -GMm/r
(36)
11.3.
CÁLCULO DEL TRABAJO A PARTIR DE LAS LÍNEAS EQUIPOTENCIALES
APLICACIÓN.
En campos radiales, conociendo las superficies
equipotenciales, o las líneas de nivel, es muy fácil determinar por el camino
que convenga, el trabajo a realizar para trasladar una determinada magnitud
activa.
Ej.24. En la figuras 57 y 58, calcular el trabajo para llevar
una magnitud activa de 2 unidades desde A hasta D’
FÓRMULA A EMPLEAR: W = A (VA-VB)
PASOS A SEGUIR:
Dado que el trabajo a lo largo de las líneas equipotenciales es nulo
(fuerza central y desplazamiento forman un ángulo de 90º), se escoge el salto
entre superficies equipotenciales, se restan los potenciales y se multiplica
por la magnitud activa a trasladar. Se toman las líneas equipotenciales de
las figuras anteriores, suponiendo cada división del potencial, 10 unidades.
Fig.57
Fig.58
a) Cálculo del trabajo
para llevar una masa de 2kg desde A hasta D', pasando por E' (fig.57)
Se elige un camino: Desde A hasta C, de C a E', de E' a C' y desde
C' a D' .
W A-C = 2 (VA-VC) = 2kg [-100J/kg
- (-30J/kg)] = -140J.
W C-E' = 2 (VC-VE') = 0 = W E'-C' '.
W C'-D' = 2 (VC'-VD') =2kg [-30J/kg
- (-10J/kg)] = -40J. TRABAJO TOTAL = -180J.
El trabajo no lo ha hecho el campo, si no es externo al elevar la
masa de 2 kg, desde una distancia 1 a 10 metros = mgh = 2kg . 10m/s2
(1 - 10)m = -180J
b) Cálculo del trabajo para llevar una carga de 2C desde
A hasta D', pasando por E' (fig.58)
Se elige un camino: Desde A hasta C, de C a E', de E' a C' y desde
C' a D' .
W A-C = 2 (VA-VC) = 2C [80V - 40V]
= 80J.
W C-E'' = 2 (VC-VE')
= 0 = W E'-C' '.
W C'-D' = 2 (VC'-VD')
=2C [40V - 20V] = 40J. TRABAJO TOTAL = 120j.
El trabajo lo ha hecho el
campo, al rechazar la carga de 2 culombios, desde una distancia 2 a 8 metros.
11.4.
CÁLCULO DEL TRABAJO A PARTIR DE CONSIDERACIONES TEÓRICAS.
APLICACIÓN
Ej25. Calcular el campo de fuerzas asociada a la función potencial
V= 2xy + 3z2 - yz2 , así como el trabajo
necesario para llevar una masa puntual
desde P1( 0,0,7) a P2 (0,0,4).
CONSIDERACIONES PREVIAS: El campo es conservativo dado que su intensidad
deriva de una función potencial
PASOS A SEGUIR:
a) Dado que
se aplica el nabla a la función potencial
y se cambia de signo. Así
.
b) Como W = A (VA-VB) = 1 (V7-V4).
El potencial en cada punto se encuentra sustituyendo los valores dados en
la función.
W = 1[( 3.72 - 0.72
) - (3.42 - 0.42 )] = 147 - 48 = 99 J. ( El trabajo
lo ha hecho el campo al acercar la masa desde 7 hasta 4, este trabajo que
realizó el campo se convertirá en energía cinética de dicha unidad de magnitud
activa, pudiéndose calcular la velocidad de la misma).
11.5. CÁLCULO DE LA FUNCIÓN POTENCIAL
DE UN CAMPO CONSERVATIVO, Y SU APLICACIÓN A LA
DETERMINACIÓN DEL TRABAJO.
Se ha calculado el potencial o la función
potencial, para campos radiales. Esto es partiendo de que
Si lo hacemos por componentes, realizando el producto escalar, se tendría:
y considerando que todo lo que no hace referencia
a la variable dada, es constante, podríamos resolverlo fácilmente.
APLICACIÓN
Ej26. Supuesto el campo
, conservativo , calcula su función
potencial, así como el trabajo realizado al trasladar 10 unidades de magnitud
activa, desde el punto (0,0,0) al punto (1,1,1).
PASOS A SEGUIR:
a) Como Ix = 4xy- 3x2z2, V = - I (4xy- 3x2z2)dx = -2x2y + x3z2
+ C1 (y,z) (La cte.
de integración dependerá de y y de z), y se evalúa a partir de dichas componentes
por comparación.
b) Se deriva la función anterior con el signo cambiado, respecto a y
, y se compara con Iy = 2x2.
Ya que
Así: -dV/dy =
2x2 + dC1 (y,z)/dy , y por otra parte Iy
= 2x2 , por lo tanto dC1 (y,z)/dy = 0 , lo que implica
que la constante C1, sólo dependerá de z. C1 (y,z) = C1 (z).
c) Se deriva la función potencial obtenida con el signo cambiado, respecto
a z, y se compara con la Iz = - 2x3 z
Así: -dV/dz =
-2x3 z + dC1 (z)/dz . Por lo tanto dC1 (z)/dz = 0, lo que indica que
C1 (z) no depende de z, luego es una constante K.
d) Se obtiene la función potencial que será: V = -2x2y + x3z2
+ K
e) El trabajo será: W = A (VA-VB) = 10 [ (-2x2y
+ x3z2 + K) 0,0,0 - (-2x2y + x3z2
+ K) 1,1,1 ] = 10 [ (0 + K)- (-2+ 1 + K)] = 10J.
11.6.
CÁLCULO DE POTENCIALES DE CAMPOS YA DETERMINADOS.
a) Potencial debido al campo eléctrico en
la superficie de un cuerpo conductor electrizado y en equilibrio
Se tenía
que en superficie:
, cerca,
mientras que en su interior
era 0.
Como
; Por lo tanto empleando
el campo cerca de la superficie
.
Si
,
, e integrando desde el
infinito hasta el punto R (superficie)
;
,
,
mientras que en su interior,
al ser la intensidad del campo nula, V será constante, manteniéndose dicho
valor.
Gráficamente (fig.59 y 60, según
sea Q>0 , o Q<0)
Fig.59
Fig.60
Siguiendo la consideración del Ej.8 (Campos II), teníamos que
, teniendo en cuenta que A/L es la densidad lineal
de magnitud activa 8, la expresión final será:
.
Para el
campo gravitatorio
Para el campo
eléctrico (+),
Por lo tanto dado que
;
:
PASOS A SEGUIR.
Aplicando la consideración anterior
, teniendo en cuenta los sentidos de las intensidades de los campos, el
será 1 o -1 según se trate del campo
eléctrico (divergente) o gravitatorio (convergente), por lo que la expresión
general nos daría variando el signo en cada caso
, constante que se puede determinar en las condiciones dadas en el problema
de tal forma que sea 0.
De esta forma y para el campo eléctrico:
mientras que para el campo gravitatorio:
.
Como lo que nos interesa realmente es la diferencia de potencial,
para así calcular el trabajo, la constante no tiene importancia ya que se
anularía. Así por ejemplo si queremos determinar el trabajo a realizar para
trasladar en el campo anterior una cantidad de carga q, o una carga de prueba
desde a hasta b, siendo b > a, tendríamos
que W = q (Va-Vb).
Como
y
,
Como
,
, esto es el campo aleja la carga positiva "empujándola" desde a
hasta b. El trabajo lo hace el campo, y la energía potencial de q disminuirá.
c) POTENCIAL
EN UN PUNTO A UNA DISTANCIA PEQUEÑA
a, DEBIDO AL CAMPO CREADO POR UNA DISTRIBUCIÓN HOMOGÉNEA DE MAGNITUD ACTIVA
A EN UNA LÁMINA (véase fig.32 de Campos II).
Por lo tanto el potencial a diferencia de la intensidad
del campo no presenta discontinuidades.
b) POTENCIAL EN UN PUNTO A UNA DISTANCIA
a, DEBIDO AL CAMPO CREADO POR UNA DISTRIBUCIÓN HOMOGÉNEA DE MAGNITUD ACTIVA
EN FORMA DE UN CILINDRO (véase fig.31, de Campos II)
Fig.31. Campos II
Operando como en el caso anterior, se partirá
del ejemplo 9 (Campos II).
El campo creado por una distribución de
magnitud activa A en forma de lámina muy fina de superficie S:
Se tenía para el caso del campo eléctrico (lámina con carga positiva)
Teniendo en cuenta que q/S es la densidad superficial
de carga F;
.
Como
. y r=a
Esto es, sólo depende de la distancia, pues
los demás términos son constantes.
Esto permitirá calcular el trabajo realizado para
llevar una carga de un punto a otro en dicho campo, e incluso puesto que se
trata de un campo conservativo, determinar la velocidad que alcanza dicha
carga.
, siendo b el punto más
lejano y a, el más próximo. El trabajo
lo hace el campo (W>0) si A es q+, mientras que se hará sobre el campo
si A es q- . Este trabajo será igual a mv2/2, si se trata de una partícula atómica con carga y
masa , ya que se desprecia la interacción gravitatoria (en partículas atómicas,
la masa es muy pequeña) . Así se podrá calcular la velocidad.
Fig.32. Campos II
d) POTENCIAL EN UN PUNTO A r<R, DEBIDO AL CAMPO CREADO
POR UNA DISTRIBUCIÓN DE MAGNITUD ACTIVA
HOMOGÉNEA (MASA, O CARGA EN UN CUERPO AISLANTE, ESTO ES CON NULA MOVILIDAD
DE LAS CARGAS) DE FORMA ESFÉRICA.
Se ha visto (Ej10 y Ej11) que el campo creado por una
distribución homogénea de magnitud activa en forma esférica de radio R para
distancias de r<R, seguía una relación lineal
, teniendo en cuenta el concepto de densidad de magnitud activa D y en este caso aplicado a una esfera
generalizando, se tendría que
con el signo correspondiente según sea el campo
convergente (-) o divergente (+). La gráfica de la variación de la intensidad
de ambos campos con la distancia, se da en la figura 61, observándose que
para r> R, o sea desde B hasta D, la variación sigue la ley del inverso
del cuadrado de la distancia, mientras que para r<R, la variación es lineal.
Para determinar la variación del potencial,
tendríamos que
. Sustituyendo
De lo que
, teniendo en cuenta claro
está, los signos debidos al producto escalar, según sea el campo convergente
(A=M, -) o divergente (A=Q, +), la constante de integración se determinaría,
partiendo de que en B, o sea cuando r=R,
.
Por lo tanto sustituyendo:
,
, reemplazando en V,
O sea, dado que R es constante, el potencial dentro del cuerpo
tendría una dependencia cuadrática de la distancia, o sea una parábola, como
se puede apreciar en el dibujo (fig.62)
a) Para el campo eléctrico. A = Q,
b) Para el campo gravitatorio A=M , k=G , e introduciendo
el signo - , procedente del producto escalar al ser campo convergente:
La energía potencial da lugar a las mismas
gráficas como se ha dicho, dado que corresponden a multiplicar el potencial
por la magnitud activa.
Fig.61
Fig.62
Fig.63
CASOS
PARTICULARES
a) ¿Como variaría la energía potencial en el campo
gravitatorio terrestre?
b) ¿Dentro de la Tierra como la altura es 0 o negativa,
la energía potencial también lo es?
Para r>R, seguirá la ley normal, esto
es
siendo r = R+h.
Para h << R, en una distancia en la
que
se puede considerar constante, y se puede tomar
la variación de energía potencial como mgh
aplicada generalmente en los cursos de física elementales
Para r< R, la energía potencial gravitatoria,
variaría como
, y en las condiciones
en las que r= 0,
(fig 63)
c) Campo y potencial del sistema Tierra-Luna
El campo gravitatorio formado por la Tierra y la Luna, la masa actuará como un
SUMIDERO DE LÍNEAS DE FUERZA, y habrá zonas del espacio en las cuales la intensidad
del campo sea 0 (punto P del campo
entre la Tierra y la Luna); que repre-sentarían un vacío de líneas de fuerza.
El lugar geométrico de dichos puntos se puede deter-minar igualando las inten-sidades
de los campos produci-dos por dichas masas de forma que la Intensidad total
sea 0.
Perpendiculares a las líneas de fuerzas
actúan las superficies equipotenciales (líneas de puntos).
Dado que los potenciales son escalares,
los creados por las masas de la Tierra y la Luna se sumarían por lo que aunque
no existan líneas de fuerza si existen líneas de potencial (fig.64).
Obsérvese la zona conflictiva en el dibujo,
como se curvan las superficies equipotenciales (recuadro amarillo), en función
de su perpendicularidad con las líneas de fuerza.
Fig.64
11.7.
Aplicaciones de la variación de la energía potencial:
a) Cálculo
de la velocidad de escape de la Tierra.
La condición de escape del la
acción gravitatoria, es que un cuerpo tenga la velocidad suficiente, para
alejarse de la Tierra y alcanzar un punto donde no exista dicha acción. A
partir de la fórmula de interacción de los campos de fuerzas, es fácil de
ver que ese punto sería el infinito. Como el campo gravitatorio es conservativo,
la energía potencial y cinética que deberá tener la magnitud activa (masa)
que escape, deberá ser igual a la que tenga en el infinito, o sea 0.
Por lo tanto: Energía en la superficie de la Tierra
= energía en el infinito =0
, de lo que
Como modularmente, g en la superficie
de la Tierra es
, sustituyendo tendríamos
que el módulo de la velocidad de escape sería
. Esta velocidad es para
la Tierra, de 11km/s. La energía potencial gravitatoria en la luna, es aproximadamente
20 veces inferior que en la Tierra. Este concepto es muy interesante, porque
la velocidad molecular depende de la temperatura y de la masa de las moléculas,
por eso la velocidad a una determinada
temperatura de las moléculas de hidrógeno es mucho mayor que las de oxígeno,
por este motivo, no existe hidrógeno en la atmósfera de la Tierra, ya que
no ha sido capaz de retenerla. Incluso la Tierra, no pudo retener la atmósfera
que fue produciendo durante mil millones de años, hasta que la lluvia de meteoritos
recibido fue tal que su masa aumentó hasta alcanzar las condiciones necesarias.
Por ese motivo la luna no tiene atmósfera, al igual que cualquier planetoide
de poca masa.
En la fig.64 pudo observarse la variación de las
líneas equipotenciales y de fuerza en el sistema TIERRA-LUNA. Mientras que
en el punto P, la intensidad del campo sería 0, pues las intensidades de los
respectivos campos serían iguales y opuestas y por lo tanto un cuerpo de masa
m se mantendría en equilibrio, en cambio, el potencial al ser escalar y sumarse
siempre, irá aumentando, abarcando a todo el sistema TIERRA-LUNA.
b) Cálculo de la velocidad necesaria para poner
un sistema en órbita estacionaria de la Tierra a una altura h.
Se operaría de la firma forma
que en el caso anterior. Argumento: El campo gravitatorio es un campo conservativo
Energía en la superficie de
la Tierra = Energía en la órbita dada a una altura h
Simplificando m, multiplicando
por 2, y despejando la velocidad de lanzamiento característica, se tendría que :
La velocidad en órbita se denomina
velocidad de inyección y dependerá de la altura de la órbita, puesto que en
dicha órbita estacionaria
, según la fuerza que actúa
sobre m.
Así:
,con lo que sustituyendo
y simplificando:
c) Cálculo de la velocidad de una magnitud activa
A' (masa m), en reposo abandonada en un campo de fuerzas conservativo y atractivo,
creado por dos magnitudes activas iguales
A (masa M) y a igual distancia de aquella, en otro punto b (fig.65)
Si se abandona en a, estando
en reposo, la única energía que posee es la potencial, mientras que en b,
tendrá energía potencial y cinética. Puesto que el campo es conservativo,
la energía deberá mantenerse constante. Por lo tanto dado que modularmente,
y
:
Igualando
y despejando:
Si
se trata de masa, A =M , A' = m , k= G
Si se trata de carga
y masa, A=Q- , A' =q+, y m, k=k y despreciando
la acción gravitatoria y considerando sólo la acción eléctrica atractiva;
d) POTENCIAL Y CAMPO DE UN DIPOLO
Un dipolo constituye un sistema
con dos cargas iguales q y de signo contrario separadas una distancia d muy
pequeña, en comparación con la distancia r en la que se calculará el campo
y el potencial. Tiene enorme importancia en el campo de la interacción química,
y determina las propiedades de numerosos compuestos. Si se observan las dos
figuras, la determinación del potencial en un punto P, a una distancia r1
de q+ y r2 de q- , daría lugar a una expresión:
Si tenemos en cuenta
que prácticamente:
y que Si se toma la figura 66 a
.
Para P alejado, el cosCAB, tendiendo a 0, y el cos a 1.
Fig.65
Fig.66
y
por lo que
La intensidad del campo se obtendría
a partir de
,
De lo que
El momento dipolar, se define
como
, y es una magnitud vectorial
que se dirige de la carga negativa a la positiva, como se indica en el dibujo
(fig.67). Por lo tanto la intensidad del campo creado por un dipolo en P:
el signo - indica que el sentido
del campo es contrario al del momento dipolar.
Fig.67
Si un dipolo se encuentra en
un campo eléctrico, las fuerzas del campo forman un par, cuyo momento tenderá
a orientarlo en el mismo, como se observa en el dibujo, de forma que el
momento de las fuerzas que tienden a alinearlo, será:
.
[1]
Se recuerda que el signo menos, que aparece en la intensidad
del campo, surge debido a que el campo gravitatorio es CONVERGENTE o sea
atractivo