GRUPO HEUREMA. EDUCACIÓN SECUNDARIA

ENSEÑANZA DE LA FÍSICA Y LA QUÍMICA

sección: DIDÁCTICA DE LA FÍSICA Y LA QUÍMICA
para imprimir(pdf)
volver a inicio

Las derivadas en cinemática

 

1.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN: MOVIMIENTO RECTÍLINEO

 

1.1.- Introducción al concepto de derivada

 

1.2.- Definición de derivada de una función en un punto

 

1.3.- Definición de la función derivada de una función derivable

 

1.4.- Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto.

      

          1.4.1.-Aplicación

 

1.5.- Derivada segunda de una función: aceleración

 

1.6.- Aplicación de la derivada al movimiento vibratorio armónico

 

1.7.- Ejercicios de aplicación

 

1.8.- Solucionario de los ejercicios de aplicación

 

 

 

 

 

1.1.- Introducción al concepto de derivada.

Supongamos que un móvil se desplaza a lo largo del eje X, de modo que la ecuación de la posición frente al tiempo es de la forma 

Queremos determinar las características del movimiento representado por la ecuación anterior.

 

Vamos en primer lugar a dar valores numéricos a la variable independiente t y obtener, por simple cálculo, los correspondientes valores de la variable dependiente, que en este ejemplo es la posición del móvil. Desde un punto de vista matemático no hay inconveniente en que t tome valores negativos, sin embargo, el sentido físico del movimiento nos indica que cuando éste se controla, se hace generalmente a partir del instante t igual a cero y los valores de t son positivos.

 En aquellos movimientos en los que la experiencia permite sospechar que sus magnitudes características no se modifican en el transcurso del tiempo, la ley del movimiento permite responder a las siguientes preguntas.

 

a)      ¿Dónde se encontraba el móvil en un tiempo antes del actual?.La respuesta se obtiene para los valores negativos del tiempo.

b)      ¿Dónde  se encontrará en un tiempo futuro?. La solución se obtendrá para valores positivos de t.

 

Si damos valores a la ecuación x=f(t) obtenemos los correspondientes de x. Los resultados se encuentran en la tabla 1.

 

Tabla 1-1

t/s

0

1

2

3

4

5

6

7

x/m

8

4

4

8

16

28

44

64

 

Una simple inspección visual de la tabla 1-1 nos indica que es interesante conocer las posiciones del móvil entre los tiempos t=1 s y t=2 s , puesto que a ambos valores del tiempo le corresponde la misma posición . Por esta razón completamos la tabla 1-1 con una serie de valores que aparecen recogidos en la tabla 1-2

 

Tabla 1-2

t/s

1

1,25

1,50

1,75

2

3

4

5

x/m

4

3,63

3,50

3,63

4

8

16

28

 

Para t=1,5 s aparece un valor mínimo para la posición del móvil .Cabe, ahora, preguntarnos si realmente elñ valor mínimo de x  ocurre para el tiempo t=1,5 s , o existe otro valor de t  que proporciona un valor más pequeño a x . La solución a esta cuestión la resolvemos  hallando la primera derivada de la función x=x(t) e igualando a cero

Ya estamos seguros que el valor mínimo de la posición del móvil ocurre cuando t = 1,5 s. Hablamos de mínimo y no de máximo  dada la tendencia que muestran los valores  recogidos en la tabla 1-2. Desde el punto de vista matemático  podemos asegurar que el valor de t=1,5 s es mínimo, si hallamos la segunda derivada de la función x=x(t)

 

Al ser x´´(t) >0 , esto es positivo,  nos aseguramos que  para t=1,5 s corresponde un valor mínimo de x.

Representamos los valores  numéricos de las tablas 1-1 y 1-2, colocando las posiciones en el eje  de ordenadas y los tiempos en el de abscisas (fig.1-1)

 

Fig.1-1

 

La figura 1-1 nos da las posiciones del móvil frente al tiempo. Destaquemos que no es la representación de la trayectoria del móvil ya que éste se mueve a lo largo de una línea recta.

De la mencionada figura es posible deducir un esquema que nos identifique las posiciones del móvil sobre la recta por donde se desplaza . La imagen obtenida nos proporciona  una visión global de la manera como se desplaza el móvil  a lo largo de su trayectoria.(fig. 1-2)

Fig 1-2

 

El móvil se desplaza sobre un línea recta. En el tiempo t= 0 se encuentra en la posición + 8 m, se desplaza hacia la izquierda de modo que a t=1,5 s se encuentra en la posición x=+3,5 m. Da la vuelta y se desplaza hacia la derecha, vuelve a pasar por la posición x=+ 8 m cuando t es 3 segundos. Sigue desplazándose hacia la derecha y a t= 6s se encuentra a 44 m de la posición x=0. Se puede cometer el error de decir que la longitud  recorrido por el móvil  entre t=0 y t =3 segundos es nula y esto no es cierto a pesar de que en esos instantes el móvil ocupa la misma posición.

De la figuras 1-2 podemos deducir que los desplazamientos realizados entre esos instantes  son:

 

; El signo menos indica que el móvil camino hacia la izquierda

 

 . El signo mas indica que el móvil camino hacia la derecha

La longitud recorrida es la suma de los valores absolutos de los desplazamientos

 

Si nos limitásemos a calcular la longitud por la diferencia entre las posiciones el resultado  es cero, lo cual es erróneo. El lector debe estar preparado para no cometer tal incorrección.

Hasta el momento en el análisis del movimiento han aparecido dos magnitudes la posición y el tiempo (instante temporal).Una magnitud importante en el movimiento es la que relaciona la diferencia entre dos posiciones (desplazamiento) y la diferencia entre los instantes correspondientes a esas dos posiciones (intervalo temporal).

 

El cociente entre el desplazamiento y el intervalo temporal recibe el nombre de velocidad media del móvil.

 

La velocidad media es un término  que ya pertenece al vocabulario corriente.

Físicamente representa la velocidad que de forma constante habría de llevar un móvil ficticio, para que pasase por las posiciones inicial y final en los mismos instantes que lo hace el móvil real y además recorriese la misma trayectoria rectilínea.

Debemos resaltar que la velocidad media de casi todos los movimientos depende de las posiciones que se elijan para calcularla. Por ejemplo.

vm (entre t=1,00 s y t = 1,50 s)

vm (entre t=1,00 s y t = 2,00 s)

vm (entre t=2,00 s y t = 3,00 s)

La velocidad media puede ser positiva, negativa o nula. A pesar de la utilidad de la velocidad media no deja de llamar la atención sus valores, que difieren notablemente de la velocidad que en cada instante  lleva el móvil. Por ello parece necesario establecer una velocidad instantánea o velocidad que lleva el móvil          en cada instante temporal.       

 

Parece razonable que si queremos obtener la velocidad en el instante t=3 s, debemos calcular cómo varía la velocidad media a medida que se toman posiciones más y más cercanas a los t = 3 s. Vamos a calcular las velocidades medias para posiciones cuya x sea menor que la correspondiente a t= 3 s  y para valores cuya x sea mayor. En ambos caos tomaremos intervalos de tiempos  cada vez más pequeños  acercándonos al instante t = 3 s..

Estos cálculos los hacemos pensando que a partir de los valores numéricos  seamos capaces de deducir alguna relación que nos permita calcular la velocidad instantánea en t= 3 s. Los cálculos los resumimos en la tabla 1-3

 

Tabla 1-3

Velocidad media, vm (entre 2 y 3 segundos)  =

Velocidad media, vm (entre 2,5 y 3 segundos)  =

Velocidad media, vm (entre 2,9 y 3 segundos)  =

Velocidad media, vm (entre 2,99 y 3 segundos)  =

Velocidad media, vm (entre 2,999 y 3 segundos)  =

Velocidad media, vm (entre 3 y 4 segundos)  =

Velocidad media, vm (entre 3 y 3,5 segundos)  =

Velocidad media, vm (entre 3 y 3,1 segundos)  =

Velocidad media, vm (entre 3 y 3,01 segundos)  =

Velocidad media, vm (entre 3 y 3,001 segundos)  =

 

De estos valores convenientemente ordenados parece deducirse que la velocidad instantánea en el tiempo t = 3 s esté comprendida entre:

 

La intuición parece indicarnos que la velocidad instantánea puede ser vi= 6 m/s. Esta intuición que en general se muestra muy útil en los trabajos de las ciencias experimentales  y que nos ha permitido deducir un probable valor de la velocidad instantánea, no parece que tenga el suficiente rigor matemático para afirmar con toda seguridad que estamos acertados al asignar la velocidad anterior, por tanto,  aparece de inmediato una pregunta ¿Podemos llegar a saber el valor de la velocidad instantánea en el tiempo t = 3 segundos? Para responder a este interrogante  hemos de recurrir a las matemáticas y razonar con el rigor que impone esta ciencia.

 

 

1.2.- Definición de derivada de una función en un  punto

Sea x= x(t) una función real de variable real definida en un intervalo de la recta real. Si to es un punto del intervalo (a,b) , decimos que x=x(t) es derivable en to si existe el límite del cociente

cuando h tiende a cero.

Este límite, cuando existe, es un número real que se representa por x´(to)         y se lee x´ de t subcero, notación de Lagrange, o por

Y se lee, derivada de la función x, respecto a la variable t en el punto to. Notación de Leibniz. La notación abreviada de todo lo anterior puede hacerse de la siguiente manera:

 

En el ejemplo que nos ocupa to = 3 s, podemos escribir recordando que

 

la velocidad instantánea para to= 3 s  es la derivada de la función

 

En el instante to= 3 s,  

 

Si deseamos calcular la velocidad instantánea para otro tiempo, por ejemplo, to= 4 s, el procedimiento es el mismo

Calculemos las velocidades medias para posiciones próximas a to= 4 s, de la misma manera que lo hicimos para to = 3s. Los resultados están recogidos en la tabla 1-4.

 

Tabla 1-4 

Dt/s

3,9-4,  s

3,99-4 s

3,999-4 s

4-4,1 s

4-4,01,s

4-4001,s

vm/ms-1

9,80

9,98

9,998

10,2

10,02

10,002

 

 

Análogamente nos podemos plantear el estudio de la velocidad instantánea en cada punto en el intervalo (0,7 s) y observamos que si el punto es interior a dicho intervalo,  el estudio de dicha velocidad instantánea   es idéntico al realizado en los dos casos anteriores, esto es, tomando un valor de h suficientemente pequeño, podemos conseguir valores de x(t) tanto a la derecha como a la izquierda del punto, pero si tomamos el instante t=0 ¿podremos conseguir valores de x(t)  a la izquierda del punto t=0?.En muchos movimientos, la respuesta es negativa  ya que no parece tener sentido el dar valores negativos a la variable tiempo. Operaremos  calculando las velocidades medias para tiempos mayores de t=0 y de los valores obtenidos se intuirá si esas velocidades medias  se acercan o tienen por  límite algún valor numérico. Los resultados se recogen en la tabla 1-5.

 

Tabla 1-5 

Dt/s (intervalo)

0

(0-0,0001)

(0-0,001)

(0-0,01)

(0-0,1)

vm/ms-1

vi

-5,9998

-5,998

-5,98

-5,80

 

Los valores numéricos parecen indicar que a medida que el tiempo tiende hacia el valor t=0, la velocidad media tiende al valor – 6 m.s-1. Aquí tomamos los tiempos para t=0 para valores de t>0 que son para los cuales existe x(t).

Desde el punto de vista matemático esto equivale a la derivada por la derecha de un punto que expresamos

De igual forma, si consideramos  que el estudio del movimiento lo hacemos  en el intervalo  t=0 a t =+7 s ¿cuál es la velocidad instantánea para to= 7s

 

Podemos calcular velocidades medias entre posiciones a las que corresponden tiempos menores que to = 7s, tal como se resume en la tabla 1-6.

 

Tabla 1-6

Dt/s (intervalo)

7

(7-6,9)

(7-6,99)

(7-6,999)

(7-6,9999)

vm/ms-1

vi

21,8

21,98

21,998

21,9998

 

Matemáticamente esto equivale a la derivada por la izquierda de un punto que expresamos

Resumiendo todo lo anterior, obtenemos los siguientes resultados, tabla 1-7.

Tabla 1-7

t/s

0

1

2

3

4

5

6

7

vi/m.s-1

-6

-2

2

6

12

14

18

22

 

A la vista de los resultados anteriores cabe hacerse la siguiente pregunta ¿Existe una función real de variable real con la propiedad de que su valor  en cada instante t=to nos dé la velocidad instantánea en to?, es decir, ¿existe una función real que nos haga corresponder de forma única al valor 0 el -6, al 1 el -2, al 2 el 2 …….?

La pregunta equivale desde el punto de vista matemático  a esta otra:

¿Existe una función que nos dé en cada punto el valor de la derivada de otra función?

 

 

 

1.3.- Definición de la función derivada de una función derivable

Sea x una función real de variable real, derivable en todos los puntos de un cierto intervalo I de R (si es cerrado se toman las derivas laterales en los extremos) Se llama función derivada de la función derivable x, a otra función definida en el mismo intervalo I  que hace corresponder  a cada  to , el número real x´(to).

A la función derivada de la función derivable x se denota por x´ o por  y se lee ´´derivada primera de x´´.

 

Así en el ejemplo propuesto, la función 4t-6 nos da la derivada en cada punto de la función x(t)=2t2-6t+8, es decir , x´(t) = 4t-6 es la función derivada de x(t) o derivada primera de x(t).

 

1.4.- Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto

La derivada aparece en las matemáticas al dar solución al problema de hallar la tangente en un punto a la gráfica de una función x=x(t). En la figura 1.3, hemos representado la gráfica de la función x=x(t). Si tomamos el punto genérico t y otro punto t+Dt de su dominio de definición, obtenemos los puntos de la gráfica

La recta secante r, que une estos puntos tiene por pendiente m = tag a

Fig.1-3

De la figura 1.3 deducimos:

Al tender Dt a cero, la recta secante r tiende a la recta tangente T de la gráfica x=x(t) en el punto ;por lo tanto, la pendiente de esta recta tangente es:

                                              

Es decir, la pendiente de la tangente a x=x(t) en el punto de abscisa t viene dada por x´(t). La ecuación de esta tangente* es:

* Recordemos que la ecuación de una recta en su forma punto-pendiente es:

                                              

Que representa la recta que pasa por el punto (xo,yo) y tiene de pendiente m.

 

 

 

1.4.1- Aplicación

Vamos a estudiar la anterior interpretación geométrica aplicándola a nuestro ejemplo. En la figura 1.4 se ha representado  de nuevo  la función x(t).

 

Fig 1-4

 

De esta figura deducimos que :      t = 3                  ;             t +Dt=5

 

                                                    x(t) = x(3)=8        ;      x(t+Dt) = x(5) =28  

 

                                              

 

El lector debe observar que x(5) , x(3) e Dt son números adimensionales ya que son valores leídos de una gráfica, y en la misma los números que se colocan son adimensionales, así cuando leemos el valor 3 en el eje de abscisas debemos interpretar

                              3 en el eje t/s,  equivale a 

Y cuando escogemos en el eje de ordenadas x(3) con el valor numérico 8, debemos interpretar

                                   8 en el eje , equivale  a

Sin embargo cuando empleamos estos valores en la tangente sólo elegimos el correspondiente valor numérico de  la escala.

La posible dificultad es que normalmente se emplea la misma nomenclatura cuando escogemos el número adimensional que cuando ese número tiene dimensiones, así decimos que la velocidad media entre t=3 s y t=5 s es:

Si comparamos la expresión de la velocidad media con la de la tangente llegamos a la siguiente  conclusión:

 

Tangente de alfa es el valor numérico de la velocidad media entre t=3 s y t= 5 s.

 

Por otra parte

Representa la pendiente de la tangente a x=xs(t) en el punto de abscisa t y es equivalente al valor numérico de la velocidad instantánea en t= 3 s.

 

En resumen: Al representar la función x(t), podemos determinar la velocidad media entre dos puntos de la curva a partir  de la  pendiente de la recta que une ambos puntos , y la instantánea  a partir de la pendiente de la tangente a la curva en el punto considerado.

 

Conocida x(t) hemos visto que v(t) se calcula derivando la función x(t) con respecto a la variable tiempo.

La representación de las dos funciones sobre la misma gráfica ( figura 1.5) permitirá al lector comparar ambas magnitudes ; es interesante: a) observar en qué punto la velocidad se anula y cuál es el correspondiente en la gráfica x(t) b) fijarse con atención  que la tangente en ese punto es horizontal , y c) pensar en los valores negativos y positivos de la velocidad  y cómo son las tangentes trazadas en los puntos a la izquierda y derecha  del punto donde la tangente es horizontal.

 

Fig 1-5

 

 

 

1.5.- Derivada segunda de una función: aceleración

Un móvil se desplaza a lo largo del eje X, siendo su ecuación:      

Determinar las características del movimiento.

 

Vamos a resolver este problema siguiendo la pauta marcada en el  anterior y haciendo uso del concepto de derivada de una función que establecimos anteriormente.

Para hacer la representación  gráfica de la función x=x(t) –teniendo en cuenta que es una ecuación de tercer grado- hemos de utilizar alguno de los conocimientos que tenemos sobre la representación de funciones y tener presente que el campo de existencia de la función la consideramos comprendida entre t=0 y t= infinito.

La derivada primera de la función es:

Si igualamos a cero  , las soluciones de esta ecuación son t=1 y t=3, luego para esos valores los correspondiente en la función x(t) son:

                                           Para t=1  ;  x=1-6+9+8=12

 

                                          Para t=3  ; 

 

Que pueden ser un máximo o un mínimo de la función y que luego confirmaremos con los valores que tome la segunda derivada.

 

El valor correspondiente en la función x(t) es: .

El punto (2,10) puede ser un punto de inflexión de la curva, como x´´´= 6 , el punto (2,10) es de inflexión.

Vamos a sustituir los valores (1,1y Y (3,8) en la derivada segunda

                                   x´´(t=1) = -6<0  ,  corresponde a un máximo

                                   x´´(t=3) = +6>0  ,  corresponde a un mínimo

En resumen:

t=0…………..x=8

t=1…………..x=12  ;  máximo

t=3…………..x=8    ; mínimo

t=2…………..x=10  ; inflexión 

 

Con los valores anteriores y algunos más que damos a la ecuación x=x(t), podemos representarla  (figura 1.6)

Fig 1-6

 

Para calcular la ecuación de la velocidad instantánea del móvil hallamos la derivada primera de la función x(t).

 

En la figura 1.7 hemos representado la función v(t); de ella se deduce que hay dos instantes en que la velocidad del móvil es nula.    

Fig 1-7

Es muy interesante dibujar juntas las gráficas de las funciones x(t) y v(t). El lector debe comparar en qué puntos de x(t) corresponde v=0 y a qué punto de la misma gráfica le corresponde un valor mínimo de la velocidad,(fig. 1.8).

 

Fig 1-8

 

 

Otro de los conceptos importantes en el estudio de los movimientos es laq aceleración; tal magnitud relaciona las variaciones de la velocidad del móvil con el intervalo que tarda en producirse esa variación de velocidad.

La aceleración media se define como

Los valores de la aceleración media dependen, en general, de los intervalos de tiempo que elijamos para calcularla.  Así

 

Como ocurría con la velocidad media, el significado físico de la aceleración media-aunque pueda ser útil en algún caso- se puede alejar del término más intuitivo, que es el de asignar una aceleración a cada instante temporal. Vamos a proceder, igual que hicimos con la velocidad instantánea

, a calcular las aceleraciones medias en intervalos de tiempos cada más próximos al instante  en que deseamos calcular la aceleración instantánea.

Por ejemplo vamos a elegir el punto t=1 y calculamos las aceleraciones medias acercándonos a t=1 con valores inferiores a  uno de la variable  t. Luego calculamos las aceleraciones medias acercándonos a t=1 pero con valores superiores a uno  de la variable tiempo. Los resultados del proceso los representamos en la tabla 1.8.

 

Tabla 1.8

Intervalo

Dt/s

0-1

0,5-1

0,9-1

0,99-1

0,999-1

am /m.s-2

-9

-7,50

-6,30

-6,03

-6,003

 

Intervalo

Dt/s

1-2

1-1,5

1-1,1

1-1,01

1-1,001

am /m.s-2

-3

-4,50

-5,70

-5,97

-5,997

 

La serie de valores numéricos los podemos ordenar:

 

                             -9 < -7,50 < -6,30 < -6,03 < -6,003

                             -3 > -4,50 > -5,70 > -5,97  > -5,997

Y deducir que parece probable que la aceleración instantánea este comprendida entre

                                         -5,997<ai<-6,003

 

Sin embargo debemos hacernos el mismo planteamiento riguroso que con la velocidad.

¿Podemos llegar a  saber el valor de la aceleración instantánea para t=1 s?

 

Definición Sea v= v(t) una función real de variable real, definida en un intervalo (a,b) de la recta real. Si to es un punto del intervalo decimos que v=v(t) es derivable en to si existe el límite del cociente

                                        

cuando h tiende a cero.

 

En el  ejemplo anterior, to=1  y   v =3 t2 -12 t + 9

 

La aceleración instantánea en t=1 s es la derivada de la función v(t) =3 t2-12 t+ 9en el instante t=1s.

Si repetimos los cálculos para otro punto, por ejemplo t=2 s.

 

                 

 

Siguiendo el mismo procedimiento podemos construir una tabla, como la 1-9 de la aceleración instantánea frente al tiempo.

 

Tabla 1-9

t/s

0

1

2

3

4

5

a/m.s-2

-12

-6

0

+6

+12

+18

 

A la vista de la tabla anterior nos podemos hacer la siguiente pregunta ¿Existe una funciónque nos dé en cada instante el valor de la derivada de otra función?

A esta pregunta ya hemos contestado anteriormente, por tanto, v´=6t -12 es la función derivada en cada punto  de la función v(t) =6t2 -12t + 9, es decir , la derivada primera de v(t) o la derivada segunda de x(t). La cual se repres3enta por x´´(t) o por .

En resumen: Dada la función x=x(t),podemos hallar la función  velocidad, v=v(t) derivando x(t) respecto del tiempo, y la aceleración derivando v(t) respecto del tiempo.

En nuestro ejemplo:

 

Desde el punto de vista físico es interesante colocar juntas las gráficas de las tres funciones. Fig1-9

 

Fig 1-9

 

El lector debe observar que cuando la velocidad es cero no es nula la aceleración; y que cuando la aceleración es nula no lo es la velocidad.

Mentalmente podemos trazar tangentes en cada punto  de la curva de la velocidad en el intervalo (0,2) ; las pendientes de las tangentes son  negativas en todos los puntos menos en t=2 que es nulo, por eso la gráfica de la aceleración toma valores negativos en el intervalo (0,2) y se anula en ese último punto.

 

En este tipo de problemas de Cinemática en los que el móvil se desplaza a lo largo de una recta es posible utilizar las magnitudes velocidad y aceleración sin carácter vectorial, atribuyendo a las dos magnitudes signos positivos y negativos y se pueden establecer de forma inequívoca las características del movimiento. Más adelante veremos que para movimientos en el plano y en el espacio es necesario introducir el aspecto vectorial de estas magnitudes.

 

Para el caso de movimiento sobre una recta, una velocidad con signo positivo indica que el móvil se desplaza hacia valores crecientes de la posición y de signo negativo  hacia valores decrecientes de esa magnitud. La aceleración es positiva si su sentido es hacia los valores crecientes de las posiciones y negativa hacia los valores decrecientes.

A partir de las gráficas que aparecen en la figura 1-9, es posible dibujar a distintos tiemposo las velocidades y aceleraciones del móvil , sólo teniendo en cuenta que un valor positivo dirige la magnitud hacia la derecha y negativo hacia la izquierda..En la figura 1-10 hemos construido los vectores velocidad y aceleración a partir de la figura 1-9.

 

Fig 1-10

 

En la figura 1-10 las flechas dobles representan las aceleraciones y las sencillas las velocidades. Los  tamaños de las flechas comparan de modo aproximado los valores numéricos de las magnitudes.

 

 

 

 

1.6.- Aplicación de la derivada al movimiento vibratorio armónico

 

Un móvil realiza un movimiento vibratorio armónico  con un periodo T = 2 s y una amplitud de A = 2m. En el instante t=0 s  el móvil se encuentra a la máxima distancia de la posición de equilibrio. Estudiar el movimiento.

 

Las ecuaciones de este movimiento pueden expresarse en función del seno o del  coseno, siendo su forma general:

 

Consideramos la primera ecuación  y sustituimos en ella los datos:

           

Para que en t=0 sea x=A es preciso  que

De modo que la función es: , dando valores a la variable t construimos la tabla 1.10

 

Tabla 1.10

t/s

0

1/8

1/4

1/2

3/4

1

1+1/8

1+1/4

1+1/2

1+3/4

1+1

x/m

2

1,85

1,41

0

-1,41

-2

-1,85

-1,41

0

1,41

2

 

La representación gráfica de la función corresponde a la figura 1-11.

 

Fig.1-11

 

Vamos a calcular la velocidad instantánea, por ejemplo, en el instante t=1,5 s, hallando velocidades medias en intervalos temporales cada vez más pequeños.

Por brevedad, en este caso la calcularemos acercándonos al instante t=1,5 s por la izquierda

 

Intervalo temporal comprendido entre 1,40 s y 1,50 s

 

 

Intervalo temporal comprendido entre 1,45 s y 1,50 s

 

Intervalo temporal comprendido entre 1,49 s y 1,50 s

 

Intervalo temporal comprendido entre 1,495 s y 1,500 s

 

Si escribimos ordenadamente las velocidades medias, vemos que forman una sucesión creciente

Aplicando el método de la derivación a la función x(t)

y particularizando para el instante t=1,5 s: ..

Para representar la función v(t) elaboramos la tabla de valores 1.11

 

Tabla 1.11

t/s

0

1/8

1/4

1/2

3/4

1

1+1/8

1+1/4

1+1/2

1+3/4

1+1

v/ms-1

0

-2,40

-4,44

-6,28

-4,44

0

2,40

4,44

6,28

4,44

0

 

La grafica de la función v(t) corresponde a la figura 1-12

Fig.1-12

 

La aceleración se obtiene derivando la función velocidad respecto del tiempo.

 

La grafica de la función está en la figura 1-13

Fig.1-13

 

La aceleración está en oposición de fase con la posición; en el mismo instante en que una función toma el valor máximo la otra es mínimo.

El problema podría haberse resuelto utilizando la ecuación

Pero como para t= 0,x=2m,para satisfacer esta nueva ecuación q=0, con lo que la ecuación que representa el movimiento es : x=2 cos(p t) , la cual corresponde al exactamente con la de la posición de la figura 1.11.

Por otra parte según enseña la trigonometría

                                                      sen (p t + p/2) = cos p t

por lo que para representar este movimiento valen las dos ecuaciones.