GRUPO HEUREMA. EDUCACIÓN SECUNDARIA

ENSEÑANZA DE LA FÍSICA Y LA QUÍMICA

sección: DIDÁCTICA DE LA FÍSICA Y LA QUÍMICA
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VECTORES EN DIFERENTES SISTEMAS DE COORDENADAS.

TRANSFORMACIONES ENTRE SISTEMAS

  

Sistema rectangular

Se explica respecto de tres ejes perpendiculares entre sí (X,Y,Z) que se cortan formando un triedro y sobre los que están definidos tres vectores unitarios principales , que se toman de modo que el triedro resulte a derechas, lo que se deduce de la regla . La posición de un punto P fig.1, viene determinada por tres coordenadas (x, y, z), es decir mediante tres distancias al punto O.

El vector de posición de un punto P  viene determinado por

 

Sistema de coordenadas cilíndricas

La posición de un punto respecto del sistema de ejes viene determinada por dos distancias y un ángulo     (r, q, z) y los vectores unitarios son: , , , ver la fig.2


El vector unitario , se aplica en el punto P y es paralelo al eje Z.

El vector unitario se aplica en P y es paralelo al vector  dibujado en el plano (X,Y), estando determinado por la proyección de P  sobre el citado plano.

El vector unitario se aplica en P  y es perpendicular a los otros dos verificando

El vector de posición de un punto P  viene determinado por  no quedando unívocamente determinado.

 

 

Relación de los sistemas de coordenadas cilíndricas y rectangulares

Se buscarán relaciones de  y   con los unitarios  pues el unitario  coincide. Trasladando  y   al plano (X, Y) fig.3, reulta:

 

Los vectores  y   son unitarios:       

 

Aplicación:

·              Un punto tiene de coordenadas cartesianas P(4, 3, 2) expresar su vector de posición en coordenadas cilíndricas.

;  

 

·              Expresar un vector   en coordenadas cilíndricas, si su punto de aplicación está en P(4, 3, 2)

         De la fig.3 se deduce fácilmente que ;   

           

           

          El vector de posición del punto de aplicación del vector que está en P que ya se calculó en la   aplicación anterior:

          Para expresar el vector en coordenadas cilíndricas, hemos de calcular sus componentes en las    direcciones de los vectores unitarios,  ;  ; ; para lo cual vamos a calcular los productos escalares del vector por cada uno de estos unitarios, porque el producto escalar de un vector           por otro unitario, proporciona la proyección del vector sobre la dirección del unitario.

 

 

 

            Compruebe que el módulo del vector es el mismo con independencia del sistema de coordenadas en el que se exprese,

 

 

Sistema de coordenadas esféricas

La posición de un punto P respecto del sistema de ejes, viene determinada por una distancia y dos ángulos     (r, q, j)) y los vectores unitarios son:  ;  ;  , ver la fig.4.

El vector unitario está en la dirección

El vector unitario  es perpendicular a  y su sentido es aquel en el que j  crece.

El vector unitario es perpendicular a los dos anteriores verificando

Un punto cualquiera como P, tiene un vector de posición que se encuentra en la dirección OP. En coordenadas esféricas se expresa:

 

Indica únicamente que P  está a una distancia r  del origen, pero no determina unívocamente su posición.

 

 

Relación de los sistemas de coordenadas esféricas y rectangulares

Se buscarán relaciones entre los vectores unitarios:  , ,   y los

Trasladamos los vectores unitarios al origen para mayor facilidad.

 

 

El vector debe proyectarse previamente sobre el plano (X, Y), dirección OM,  antes de hacerlo sobre los ejes X e Y, esta proyección vale . Para proyectar observamos que forma con el Z un ángulo  pero también debe ser proyectado antes sobre el plano (X, Y) y después sobre los ejes. Para proyectar  observemos que forma con el eje X, un ángulo . 

 

 

Aplicación

·              Un punto tiene de coordenadas cartesianas P(4, 3, 2) expresar su vector de posición en coordenadas

         esféricas.

;                     

          Vamos ahora a obtener los vectores unitarios , ,   en función de . Es necesario    observar en la fig.4,  el vector designado por .

                                

 

           

        

 

           

·              Expresar un vector  en coordenadas esféricas, si su punto de aplicación está en P(4, 3, 2).

 

            Calcularemos las componentes del vector  en las direcciones de los vectores unitarios , ,             multiplicando escalarmente el vector , por cada uno de estos unitarios.

           

           

           

 

  

EXPRESIÓN DE UN VECTOR ELEMENTAL    EN DISITNTOS SISTEMAS DE REFERENCIA

La utilidad que proporciona en Física el vector es muy grande, pues permite calcular magnitudes como el trabajo, el potencial, etc. y en general interviene en todos aquellos casos en los que hay que resolver una integral de línea.

 

Sistema de coordenadas cilíndricas

Si un vector tiene su origen en un punto A de coordenadas cilíndricas (r, q, z) y su extremos en un punto próximo D, de coordenadas (r+dr ,  q+dq,  z+dz) vamos a calcular la expresión de un vector elemental en el sistema de coordenadas cuyos vectores unitarios principales son , , . El vector elemental se descompone en un vector  en el plano (X, Y), que es su proyección sobre el plano y en otro vector según Z, designado como , fig.7.

Sistema rectangular

Si un vector tiene su origen en el punto de

coordenadas (x, y, z) y el extremo en el punto

(x+dx,  y+dy, z+dz),  entonces  se observa en

la fig. 6 que el  vector  se expresa:    

 

             

 

Observamos en la fig.7, que el vector  y que el vector , además, del triángulo ABC se deduce que . En consecuencia el vector puede expresarse como suma de los vectores  del siguiente modo:

Que constituye la expresión de un vector elemental en coordenadas cilíndricas.

 

 

Sistema de coordenadas esféricas

Sea un vector expresado en coordenadas esféricas, cuyo origen está en el punto A (r, q, j) y extremo en un punto B(r+dr, q+dq, j+dj). Queremos expresar un vector en función de los vectores unitarios , ,

 

En fig.8 se puede observar como el vector  se descompone en la suma de tres vectores ortogonales ,  cuyos módulos son respectivamente:

                            

 

Teniendo en cuenta las direcciones de los vectores unitarios resulta: 

 

Que constituye la expresión de un vector elemental en coordenadas esféricas.

 

 

 

APLICACIÓN

      La diferencial total de una función escalar V  en coordenadas rectangulares es.

 

      Pero en función del gradiente:

      Sustituyendo dV  y en coordenadas rectangulares resulta: 

            Identificando los dos miembros y puesto que hay un producto escalar de vectores:

            De la ecuación anterior se deduce que el operador nabla en coordenadas rectangulares es:

 

 

      La diferencial total de una función escalar V  en coordenadas cilíndricas es.

 

      Pero en función del gradiente:

      Sustituyendo dV  y en coordenadas cilíndricas resulta:

 

      Identificando los dos miembros y puesto que hay un producto escalar de vectores:

 

            De la ecuación anterior se deduce que el operador nabla en cilíndricas es:

 

      La diferencial total de una función escalar V  en coordenadas esféricas es.

      Pero en función del gradiente:

      Sustituyendo dV  y en coordenadas esféricas resulta: 

 

            Identificando los dos miembros y puesto que hay un producto escalar de vectores:

            De la ecuación anterior se deduce que el operador nabla en esféricas es: